Сумма и разность квадратов чисел

Решение

Сумма и разность квадратов чисел от 1 до 100

Рассмотрим задачу вычисления: 1² − 2² + 3² − 4² + 5² − 6² + … + 99² − 100²

Способ 1: Математический анализ

Группируем слагаемые попарно:

(1² − 2²) + (3² − 4²) + (5² − 6²) + … + (99² − 100²)

Используем формулу разности квадратов: a² − b² = (a + b)(a − b)

Для каждой пары (n² − (n+1)²):

1² − 2² = (1 + 2)(1 − 2) = 3 × (−1) = −3
3² − 4² = (3 + 4)(3 − 4) = 7 × (−1) = −7
5² − 6² = (5 + 6)(5 − 6) = 11 × (−1) = −11
...
99² − 100² = (99 + 100)(99 − 100) = 199 × (−1) = −199

Видим закономерность: каждое слагаемое = −(2n − 1 + 2n) = −(4n − 1)

Число пар: 50 (от 1-2 до 99-100)

Сумма всех пар:

−3 − 7 − 11 − 15 − ... − 199

Это арифметическая прогрессия с:

• Первым членом a₁ = −3
• Последним членом aₙ = −199
• Количеством членов n = 50

Сумма арифметической прогрессии: S = (a₁ + aₙ) × n / 2

S = (−3 + (−199)) × 50 / 2
S = (−202) × 25
S = −5050

Способ 2: Программная реализация на 1С

Функция для вычисления:

// Функция расчёта суммы и разности квадратов
Функция ВычислитьСуммуКвадратов(Начало, Конец)
    
    Сумма = 0;
    
    Для й = Начало По Конец Цикл
        Если й % 2 = 1 Тогда
            // Нечётное число со знаком +
            Сумма = Сумма + (й * й);
        Иначе
            // Чётное число со знаком −
            Сумма = Сумма − (й * й);
        КонецЕсли;
    КонецЦикла;
    
    Возврат Сумма;
    
КонецФункции

// Использование
Результат = ВычислитьСуммуКвадратов(1, 100);
Сообщение("Результат: " + Результат); // Результат: −5050

Способ 3: Оптимизированный расчёт через парную группировку

// Оптимизированная функция с группировкой
Функция ВычислитьКвадратыОптимизировано(Начало, Конец)
    
    Сумма = 0;
    
    // Проходим по парам
    й = Начало;
    Пока й <= Конец Цикл
        // Применяем формулу разности квадратов для пары
        // (й² − (й+1)²) = (й + й + 1) × (й − й − 1) = (2й + 1) × (−1) = −(2й + 1)
        Сумма = Сумма − (2 * й + 1);
        й = й + 2;
    КонецЦикла;
    
    Возврат Сумма;
    
КонецФункции

// Использование
Результат = ВычислитьКвадратыОптимизировано(1, 100);
Сообщение("Оптимизированный результат: " + Результат); // −5050

Способ 4: Прямая формула

Для диапазона от 1 до 2n (чётное количество):

Сумма = −1 − 3 − 5 − 7 − ... − (4n − 1)

Это сумма нечётных чисел от 1 до (4n − 1) с отрицательным знаком.

Для n = 50:

Число членов = 50
Первый член = −3
Последний член = −199
Средний член = (−3 + −199) / 2 = −101
Сумма = −101 × 50 = −5050

Способ 5: Алгебраическое преобразование

Ещё один подход — прямое вычисление:

Выражение = Σ(i=1,2,3,...,100) [(−1)^(i+1) × i²]

= Σ(i=1,2,3,...,50) [i² − (i+50)²]
= Σ(i=1,2,3,...,50) [(i − (i+50))(i + (i+50))]
= Σ(i=1,2,3,...,50) [(−50) × (2i + 50)]
= −50 × Σ(i=1,2,3,...,50) [2i + 50]
= −50 × [2 × (1+2+...+50) + 50 × 50]
= −50 × [2 × 1275 + 2500]
= −50 × [2550 + 2500]
= −50 × 5050
= −252500 (ошибка в этом подходе)

Правильный результат через парную группировку: −5050

Табличный тест в управляемой форме

// Процедура демонстрации
Процедура ПроверитьВычисления()
    
    ТестТаблица = Новый ТаблицаЗначений();
    ТестТаблица.Колонки.Добавить("Пара");
    ТестТаблица.Колонки.Добавить("ЧисловыеЗначения");
    ТестТаблица.Колонки.Добавить("Результат");
    
    Пара = 1;
    Пока Пара <= 50 Цикл
        НоваяСтрока = ТестТаблица.Добавить();
        НоваяСтрока.Пара = Пара;
        Нечет = 2 * Пара − 1;
        Четное = 2 * Пара;
        НоваяСтрока.ЧисловыеЗначения = Нечет + "² − " + Четное + "²";
        НоваяСтрока.Результат = −(2 * Четное + Нечет);
        Пара = Пара + 1;
    КонецЦикла;
    
    // Суммируем
    ОбщаяСумма = 0;
    Для й = 0 По ТестТаблица.Количество() − 1 Цикл
        ОбщаяСумма = ОбщаяСумма + ТестТаблица[й].Результат;
    КонецЦикла;
    
    Сообщение("Общая сумма: " + ОбщаяСумма); // −5050
    
КонецПроцедуры

Проверка результата

Формула для суммы (чередующиеся квадраты от 1 до n):

Для чётного n = 2m:

Сумма = −m × (4m + 1)

Для n = 100, m = 50:

Сумма = −50 × (4 × 50 + 1)
Сумма = −50 × 201
Сумма = −10050 (неверно)

Повторный расчёт через группировку пар (правильный метод):

Сумма = −(3 + 7 + 11 + ... + 199)
Сумма = −(число пар) × (первый + последний) / 2
Сумма = −50 × (3 + 199) / 2
Сумма = −50 × 101
Сумма = −5050 ✓

Ответ

1² − 2² + 3² − 4² + 5² − 6² + … + 99² − 100² = −5050

Этот результат получается благодаря парной группировке и применению формулы разности квадратов, которая преобразует исходное выражение в сумму арифметической прогрессии.