Задача на распределение Пуассона

Распределение Пуассона: пассажиры в автобусе

Условие задачи

Поток пассажиров в автобус: λ = 3 пассажира в минуту

Найти вероятность того, что за 2 минуты зайдёт ровно 10 пассажиров.

Распределение Пуассона

Формула:

P(X = k) = (e^(-λ) × λ^k) / k!

где:
- λ (lambda) = параметр распределения (среднее количество событий)
- k = количество событий
- e ≈ 2.71828
- k! = факториал k

Шаг 1: Определяем параметр λ для нашего случая

Поток: 3 пассажира в минуту Время: 2 минуты

λ = 3 × 2 = 6 пассажиров

Поскольку события происходят независимо, параметр Пуассона пропорционален времени.

Шаг 2: Применяем формулу Пуассона

Нужна вероятность k = 10 пассажиров:

P(X = 10) = (e^(-6) × 6^10) / 10!

Шаг 3: Вычисляем компоненты

e^(-6):

e^(-6) ≈ 0.002479

6^10:

6^10 = 60,466,176

10! (факториал):

10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10
    = 3,628,800

Шаг 4: Финальный расчёт

P(X = 10) = (0.002479 × 60,466,176) / 3,628,800
          = 149,968.7 / 3,628,800
          ≈ 0.04130
          ≈ 4.13%

Ответ

Вероятность того, что за 2 минуты зайдёт ровно 10 пассажиров ≈ 4.13% или 0.0413

Расчёт на Python

import math
from scipy.stats import poisson

lambda_per_minute = 3
time_minutes = 2
lambda_total = lambda_per_minute * time_minutes
k = 10

numerator = math.exp(-lambda_total) * (lambda_total ** k)
denominator = math.factorial(k)
prob_manual = numerator / denominator

print(f"λ = {lambda_total}")
print(f"k = {k}")
print(f"P(X = {k}) = {prob_manual:.6f}")
print(f"Процентов: {prob_manual * 100:.2f}%")

prob_scipy = poisson.pmf(k, lambda_total)
print(f"\nWith scipy:")
print(f"P(X = {k}) = {prob_scipy:.6f}")

Распределение вероятностей для λ = 6

Вероятности для разных k:

P(X =  0) = 0.002479
P(X =  1) = 0.014873
P(X =  2) = 0.044618
P(X =  3) = 0.089235
P(X =  4) = 0.133853
P(X =  5) = 0.160623 (максимум)
P(X =  6) = 0.160623 (максимум)
P(X =  7) = 0.137677
P(X =  8) = 0.103258
P(X =  9) = 0.068838
P(X = 10) = 0.041303 ← ОТВЕТ
P(X = 11) = 0.022438
P(X = 12) = 0.011219
P(X = 13) = 0.005177
P(X = 14) = 0.002217

Ключевые свойства распределения Пуассона

1. Математическое ожидание = λ = 6

   • В среднем за 2 минуты зайдёт 6 пассажиров

2. Дисперсия = λ = 6

   • У Пуассона ожидание и дисперсия равны

3. Мода (наиболее вероятное значение) ≈ 5-6

   • В нашем случае: максимум в k = 5 и k = 6

4. Форма распределения

   • При малых λ: асимметрично (скошено вправо)
   • При больших λ: похоже на нормальное распределение

Интуитивное объяснение

Распределение Пуассона описывает количество редких, независимых событий в фиксированном времени/пространстве:

• k = 10 пассажиров — выше среднего (6)
• Вероятность 4.13% — это довольно редко
• Но возможно — дисперсия = 6, т.е. σ ≈ 2.45, k = 10 это +1.6σ

Практическое применение

Распределение Пуассона используется в:

• Телекоммуникации: количество звонков в callcentre
• Веб-трафик: количество запросов в секунду
• Отказы: количество сбоев в оборудовании
• Страховка: количество убытков за период
• Биология: количество мутаций в молекуле ДНК
• Социология: количество преступлений в районе

Условия применимости Пуассона

События происходят независимо и с постоянной интенсивностью в течение периода.