Задача на вероятность с картами

Вероятность карты из первой коробки: теорема Байеса

Условие задачи

Коробка 1: 5 красных + 3 синих (всего 8 карт) Коробка 2: 4 красных + 6 синих (всего 10 карт)

Выбираем коробку случайно, достаём красную карту. Какова вероятность, что это была коробка 1?

Теорема Байеса

P(Коробка1 | Красная) = P(Красная | Коробка1) × P(Коробка1) / P(Красная)

Шаг 1: Априорные вероятности выбора коробки

P(Коробка1) = 1/2 = 0.5
P(Коробка2) = 1/2 = 0.5

Шаг 2: Вероятность вытащить красную карту из каждой коробки

Из коробки 1:

P(Красная | Коробка1) = 5/8 = 0.625

Из коробки 2:

P(Красная | Коробка2) = 4/10 = 0.4

Шаг 3: Полная вероятность вытащить красную карту

P(Красная) = P(Красная|Коробка1) × P(Коробка1) + P(Красная|Коробка2) × P(Коробка2)

P(Красная) = (5/8) × (1/2) + (4/10) × (1/2)
            = 5/16 + 4/20
            = 5/16 + 2/10
            = 0.3125 + 0.2
            = 0.5125

Или через общий знаменатель:

P(Красная) = (5/8 × 1/2) + (4/10 × 1/2)
            = 5/16 + 2/10
            = 25/80 + 16/80
            = 41/80
            ≈ 0.5125

Шаг 4: Применяем теорему Байеса

P(Коробка1 | Красная) = P(Красная | Коробка1) × P(Коробка1) / P(Красная)

                       = (5/8) × (1/2) / (41/80)
                       = (5/16) / (41/80)
                       = (5/16) × (80/41)
                       = 400 / (16 × 41)
                       = 400 / 656
                       = 50/82
                       = 25/41
                       ≈ 0.6098

Ответ

Вероятность, что красная карта из коробки 1 ≈ 60.98% или 25/41

Расчёт в Python

# Состав коробок
red_box1, blue_box1 = 5, 3
red_box2, blue_box2 = 4, 6

total_box1 = red_box1 + blue_box1  # 8
total_box2 = red_box2 + blue_box2  # 10

# Априорные вероятности
P_box1 = 0.5
P_box2 = 0.5

# Вероятность красной карты из каждой коробки
P_red_given_box1 = red_box1 / total_box1  # 5/8
P_red_given_box2 = red_box2 / total_box2  # 4/10

print(f"P(Красная | Коробка1) = {P_red_given_box1:.4f}")
print(f"P(Красная | Коробка2) = {P_red_given_box2:.4f}")

# Полная вероятность красной карты
P_red = (P_red_given_box1 * P_box1) + (P_red_given_box2 * P_box2)

print(f"P(Красная) = {P_red:.4f}")

# Теорема Байеса
P_box1_given_red = (P_red_given_box1 * P_box1) / P_red

print(f"\nP(Коробка1 | Красная) = {P_box1_given_red:.4f}")
print(f"Процентов: {P_box1_given_red * 100:.2f}%")

# Фракция
from fractions import Fraction
result_fraction = Fraction(25, 41)
print(f"Фракция: {result_fraction}")

Вывод:

P(Красная | Коробка1) = 0.6250
P(Красная | Коробка2) = 0.4000
P(Красная) = 0.5125

P(Коробка1 | Красная) = 0.6098
Процентов: 60.98%

Интуитивное объяснение

1. Изначально: обе коробки одинаково вероятны (50% каждая)
2. Наблюдение: вытащили красную карту
3. Обновление убеждения: коробка 1 имеет больше красных карт (62.5% vs 40%), поэтому красная карта вероятнее из коробки 1
4. Результат: вероятность коробки 1 возросла с 50% до 61%

Визуальное представление

Все возможные пути:

       → Коробка1 (50%) → Красная (62.5%) ⟹ 0.5 × 0.625 = 0.3125 ✓
Выбор
       → Коробка2 (50%) → Красная (40%)   ⟹ 0.5 × 0.4 = 0.2 ✓
                                                Сумма = 0.5125

Вероятность пути (Коробка1 → Красная):
0.3125 / 0.5125 ≈ 60.98%

Практическое применение

Эта задача моделирует реальные ситуации:

• Медицина: диагностика болезни по симптому

  • Коробка 1 = болезнь A, Коробка 2 = болезнь B
  • Красная карта = наблюдаемый симптом

• Маркетинг: определение источника клиента

  • Коробка 1 = канал рекламы A, Коробка 2 = канал B
  • Красная карта = конверсия

• Spam-фильтры: определение спама

  • Коробка 1 = спам, Коробка 2 = легитимный
  • Красная карта = определённые слова в письме

Формула в общем виде

P(A | B) = P(B | A) × P(A) / [P(B|A)×P(A) + P(B|¬A)×P(¬A)]

Это ключевая формула в машинном обучении для Naive Bayes классификаторов.