Задача на вероятность: сумма двух костей

Вероятность суммы при бросании двух костей

Условие задачи

Бросаем две игральные кости (d6). Найти вероятность сумм 4 и 8.

Основной принцип

Всего возможных исходов = 6 × 6 = 36

Вероятность = (Количество благоприятных исходов) / 36

Вопрос 1: Вероятность суммы = 4

Подход: перечисляем все комбинации

Чтобы получить сумму 4, нужны пары:

• (1, 3) — первая кость = 1, вторая = 3
• (2, 2) — первая кость = 2, вторая = 2
• (3, 1) — первая кость = 3, вторая = 1

Всего 3 благоприятных исхода.

P(Сумма = 4) = 3 / 36 = 1 / 12 ≈ 0.0833 ≈ 8.33%

Таблица всех комбинаций для суммы 4

Вопрос 2: Вероятность суммы = 8

Подход: перечисляем все комбинации

Чтобы получить сумму 8, нужны пары:

• (2, 6) — 2 + 6 = 8
• (3, 5) — 3 + 5 = 8
• (4, 4) — 4 + 4 = 8
• (5, 3) — 5 + 3 = 8
• (6, 2) — 6 + 2 = 8

Всего 5 благоприятных исходов.

P(Сумма = 8) = 5 / 36 ≈ 0.1389 ≈ 13.89%

Таблица всех комбинаций для суммы 8

Полная матрица всех исходов

     Кость 2
    1  2  3  4  5  6
К 1 2  3  4  5  6  7
о 2 3  4  5  6  7  8  ← сумма 8 здесь
с 3 4  5  6  7  8  9
ь 4 5  6  7  8  9 10
1 5 6  7  8  9 10 11
  6 7  8  9 10 11 12

Суммы равной 4: 3 ячейки (диагональ выше главной) Суммы равной 8: 5 ячеек (диагональ выше главной)

Решение на Python

# Перебираем все возможные исходы
outcomes_4 = []
outcomes_8 = []

for dice1 in range(1, 7):
    for dice2 in range(1, 7):
        total = dice1 + dice2
        
        if total == 4:
            outcomes_4.append((dice1, dice2))
        elif total == 8:
            outcomes_8.append((dice1, dice2))

print(f"Комбинации для суммы 4: {outcomes_4}")
print(f"Количество: {len(outcomes_4)}")
print(f"Вероятность: {len(outcomes_4)}/36 = {len(outcomes_4)/36:.4f}\n")

print(f"Комбинации для суммы 8: {outcomes_8}")
print(f"Количество: {len(outcomes_8)}")
print(f"Вероятность: {len(outcomes_8)}/36 = {len(outcomes_8)/36:.4f}")

Вывод:

Комбинации для суммы 4: [(1, 3), (2, 2), (3, 1)]
Количество: 3
Вероятность: 3/36 = 0.0833

Комбинации для суммы 8: [(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)]
Количество: 5
Вероятность: 5/36 = 0.1389

Общая формула для сумм

Для суммы S при бросании двух костей, количество способов:

for S in range(2, 13):
    count = 0
    for d1 in range(1, 7):
        d2 = S - d1
        if 1 <= d2 <= 6:
            count += 1
    prob = count / 36
    print(f"Сумма {S:2d}: {count} способов, P = {prob:.4f}")

Результат:

Сумма  2: 1 способ, P = 0.0278  
Сумма  3: 2 способа, P = 0.0556
Сумма  4: 3 способа, P = 0.0833 ← ОТВЕТ
Сумма  5: 4 способа, P = 0.1111
Сумма  6: 5 способов, P = 0.1389
Сумма  7: 6 способов, P = 0.1667  ← максимум
Сумма  8: 5 способов, P = 0.1389 ← ОТВЕТ
Сумма  9: 4 способа, P = 0.1111
Сумма 10: 3 способа, P = 0.0833
Сумма 11: 2 способа, P = 0.0556
Сумма 12: 1 способ, P = 0.0278

Ключевые наблюдения

1. Сумма 7 — самая вероятная (6 способов из 36)
2. Суммы 2 и 12 — самые редкие (1 способ каждая)
3. Распределение симметрично относительно 7
4. Средняя сумма = 7 (математическое ожидание)

Интуитивное объяснение

Почему сумма 8 вероятнее суммы 4?

• Сумма 4: только 3 комбинации (1+3, 2+2, 3+1)
• Сумма 8: 5 комбинаций (2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2)
• Числа ближе к середине диапазона (7) имеют больше способов разложения

Ответы

✓ P(Сумма = 4) = 3/36 = 1/12 ≈ 8.33%

✓ P(Сумма = 8) = 5/36 ≈ 13.89%

Практическое применение

• Настольные игры: вероятность результата броска
• Казино: расчет коэффициентов
• Статистика: дискретные вероятностные распределения
• Моделирование: симуляции случайных процессов